Fizyka 4

10. Pole elektryczne

Właściowości ładunku elektrycznego

• Oddziaływanie → ładunki jednoimienne (np. dwa dodatnie) odpychają się, a ładunki różnoimienne (dodatni i ujemny) przyciągają się
• Kwantowanie → ładunek nie jest ciągły. Występuje zawsze jako wielokrotność ładunku elementarnego, oznaczanego $e$. Jest to najmniejsza porca ładunku. Całkowity ładunek obiektu $q$ można zapisać jako $q=n\cdot e$, gdzie $n\in \mathbb{Z}$
• Zasada zachowania warunku ładunku → w układzie izolowanym elektrycznie, całkowity ładunek pozostaje stały. Ładunek może jedynie się przemieszczać między ciałami
• Jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb = $C$

---

Prawo Coulomba

Prawo to opisuję siłę wzajemnego oddziaływania dwóch ładunków punktowych

$$F_e=k\frac{|q_1\cdot q_2|}{r^2}$$

Gdzie:

• $F_e$​ – wartość siły elektrostatycznej (w niutonach, N).
• $q_1,q_2$​ – wartości ładunków (w kulombach, C).
• $r$ – odległość między środkami ładunków (w metrach, m).
• $k$ – stała elektrostatyczna, zależna od ośrodka. Dla próżni (i w dobrym przybliżeniu dla powietrza) jej wartość to $\approx 9\cdot 10^9\frac{N\cdot m^2}{C^2}$

Jeśli ładunki znajdują się w innym ośrodku niż próżnia to:

$$k=\frac{1}{4\pi ϵ}$$

gdzie:
$ϵ$ - przenikalność elektryczna → wielkość fizyczna charakteryzująca właściwości elektryczne ośrodka

---

Natężenie pola elektrycznego → wielkość wektorowa charakteryzująca ilościowo pole elektryczne:

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$$

z tego wiemy również, że:
Wartość natężenia pola EE wytwarzanego przez ładunek źródłowy $Q$ w odległości $r$ od niego wynosi:

$$E=\frac{kQ}{r^2}$$

---

Pole jednorodne → obszar przestrzeni, w którym wektor natężenia pola $\vec{E}$ jest w każdym punkcie.

---

Analogia grawitacji

---

Praca wykonana przez siły pola ($W$)

Gdy ładunek $q$ przemieszcza się z punktu A do punktu B, pole elektryczne wykonuje nad nim prace $W_{AB}$. Praca ta jest równa ubytkowi energii potencjalnej tego ładunku.

$$W_{AB}=-\Delta E_p$$

---

Potencjał elektryczny ($V$)

Potencjał $V$ w danym punkcie pola to energia potencjalna, jaką miałby w tym punkcie ładunek probny $+1C$

$$V=\frac{E_p}{q}$$

• Jednostka to wolt/volt $V=\frac{J}{C}$
• Interpretacja: $V=100V$ oznacza, że pole w tym punkcie przechowuje 100 dżuli energii na każdy 1 kulomb

---

Napięcie elektryczne ($U$)

Napięcie elektryczne $U$ to po prostu różnica potencjałów między dwoma punktami

$$U_{AB}=V_A-V_B$$

Wzór fundamentalny na pracę

$$W_{AB}=q\cdot U_{AB}$$

Praca wykonana przez pole podczas przesunięcia ładunku qq między punktami A i B jest równa iloczynowi tego ładunku i napięcia (różnicy potencjałów) między tymi punktami.

---

Kondensatory

Są to elementy elektryczne służące do gromadzenia energii elektrycznej. Pojemność to iloraz ładunku zgromadzonego na każdej z okładek i napięcia między okładkami

$$C=\frac{Q}{U}$$

• Jednostką pojemności jest farad $F$

---

Energia zgromadzona w kondensatorze:

$$E=\frac{Q^2}{2C}=\frac{U^{2}C}{2}$$

11. Prąd stały

Prąd elektryczny to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Przyczyną przepływu prądu jest pole elektryczne.

• Jon dodatni (kation) - atom, od którego odłączył się elektrony
• Jon ujemny (anion) - atom, do którego przyłączyły się dodatkowe elektrony

Przepływ w:

• metalach → elektronów
• cieczach → jonów dodatnich i ujemnych
• w gazach → jonów i elektronów

Natężenie prądu → definiujemy jako iloraz ładunku przepływającego przez poprzeczny przekrój przewodnika i czasu, w którym ten ładunek przepłynął

$$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$$

• Jednostką natężenia prądu jest amper: $A=\frac{C}{s}$

---

Woltomierz → przyrząd służący do pomiaru napięcia $U$
Amperomierz → przyrząd służący do pomiaru natężenia prądu $I$

Opór elektryczny ($R$)

Opór elektryczny to iloraz napięcia między końcami przewodnika i natężenia płynącego prądu:

$$R=\frac{U}{I}$$

gdzie: $U$ - napięcie, $I$ - natężenie

• Jednostką oporu elektrycznego jest om: $\Omega =\frac{V_{olt}}{A_{mper}}$

---

Opór przewodnika zależy od rozmiarów tego przewodnika i właściwości materiału, z którego jest wykonany. Mówi jak mocno dana substancja przeciwstawia się przepływowi prądu

$$R=\frac{\varrho l}{S}$$

gdzie: $\varrho$ - opór właściwy, $l$ - długość odcinka, $S$ - pole przekroju poprzecznego

Pole przekroju poprzecznego ($S$): Im “grubszy” jest przewodnik (większe $S$), tym więcej miejsca mają elektrony na przepływ. Opór maleje.

• Analogia: Przez szerokie, dwuskrzydłowe drzwi ($S$ duże) przeciśnie się więcej osób naraz niż przez wąskie, pojedyncze drzwi ($S$ małe).

---

Wyróżniamy:

• Metale (np. miedź, srebro) mają bardzo niski opór właściwy – są świetnymi przewodnikami. W naszej analogii to pusty, szeroki korytarz. → mniej niż ok. $10^{-6}\Omega \cdot m$
• Izolatory (np. szkło, guma) mają ogromny opór właściwy. To korytarz zastawiony szczelnie meblami. Więcej niż ok. $10^7\Omega \cdot m$
• Półprzewodniki (np. krzem) mają wartości pośrednie.

Jednostką oporu właściwego jest omometr ($\Omega \cdot m$).

---

• Metale: Gdy rośnie temperatura metalu, jego jony w sieci krystalicznej drgają coraz mocniej. Te drgania są “przeszkodami” dla płynących elektronów. Im mocniejsze drgania, tym częstsze zderzenia i tym trudniejszy przepływ.
  • W metalach wzrost temperatury powoduje wzrost oporu.
• Półprzewodniki (np. krzem, german): Tutaj zjawisko jest inne. W niskiej temperaturze półprzewodnik ma bardzo mało swobodnych nośników prądu (elektronów). Podgrzewanie dostarcza energii, która “uwalnia” elektrony (przenosi je do pasma przewodnictwa), gwałtownie zwiększając liczbę nośników. Mimo że drgania sieci też rosną, to efekt zwiększenia liczby nośników dominuje.
  • W półprzewodnikach wzrost temperatury powoduje spadek oporu.

---

Prawo Ohma
Natężenie $I$ prądu płynącego przez przewodnik jest wprost proporcjonalne do napięcia $U$ między jego końcami

$$I\sim U$$

Współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność oporu elektrycznego $R$

$$I=\frac{U}{R},⟺R=\frac{U}{I}$$

Charakterystyka połączeń oporników w obwodzie

1. Połączenie szeregowe połączenie oporników jeden za drugim

Wspólny prąd ($I$): Strumień wody (prąd) nie ma innej drogi. Ta sama “ilość wody na sekundę” musi przepłynąć przez każdą zwężkę. $I_{całkowite}=I_1=I_2=I_3$

Suma napięć ($U$): Aby przepchnąć wodę przez cały system, musisz pokonać opór każdej zwężki z osobna. Całkowity spadek “ciśnienia” (napięcie) jest sumą spadków na poszczególnych elementach. $U_{całkowite}=U_1+U_2+U_3$

Opór Zastępczy ($R_z$​): Całkowity opór, jaki stawia taki układ, jest po prostu sumą poszczególnych oporów. Każdy kolejny opornik zwiększa opór całkowity. $R_z=R_1+R_2+R_3$

2. Połączenie równoległe →
   Wspólne napięcie ($U$): “Różnica poziomów” (napięcie) między początkiem a końcem rozgałęzienia jest taka sama dla każdego kanału. Na każdym oporniku następuje taki sam spadek napięcia: $U_{całkowite}=U_1=U_2=U_3=const.$

Suma prądów ($I$): Całkowity prąd wpływający do rozgałęzienia jest sumą prądów płynących w poszczególnych kanałach (zgodnie z I prawem Kirchhoffa). Prąd “wybiera” łatwiejszą drogę – więcej popłynie przez gałąź o mniejszym oporze. $I_{całkowite}=I_1+I_2+I_3$

Opór Zastępczy ($R_z$​): Tutaj dodajemy odwrotności oporów. Zwróć uwagę, że dodanie kolejnej równoległej gałęzi zmniejsza opór całkowity (bo tworzymy nową drogę dla prądu). $R_z=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$
​

Do zapamiętania!

• Połączenie szeregowe: Opór rośnie ($R_z=R_1+R_2+...$). Prąd $U$ jest wszędzie taki sam.
• Połączenie równoległe: Opór maleje ($R_z=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+...$). Napięcie $U$ jest wszędzie takie samo.
• Obwody mieszane: Rozwiązuj je etapami, upraszczając małe, wewnętrzne grupy szeregowe lub równoległe.

Źródło napięcia
Siła elektromotoryczna SEM → czynnik wywołujący przepływ prądu w obwodzie elektrycznym
SEM jest równa napięciu między biegunami źródła
To napięcie można wyrazić jako różnica siły SEM oraz spadek napięcia przy oporze wewnętrznym

$$U=\mathcal{E}-Ir⟺\mathcal{E}=U+Ir$$

`Prawo Ohma dla obwodu zamkniętego:

$$I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}$$

gdzie: $I$ - natężenie, $\mathcal{E}$ - Siła elektromotoryczna, $r$ - opór wewnętrzny źródła

---

Prąd zwarcia (kiedy $R=0$)

$$I=\frac{\mathcal{E}}{r}$$

12. Podsumowanie magnetyzmu:

1. Kierunek pola od przewodników z prądem ustalamy Regułą Prawej Dłoni:

• Przewód prostoliniowy: Kciuk = prąd ($I$), zgięte palce = linie pola ($\vec{B}$).

• Zwojnica (solenoid): Zgięte palce = prąd ($I$) w zwojach, odchylony kciuk = biegun północny ($N$) wytworzonego elektromagnesu.
  

2. Siła Lorentza (Ładunek w ruchu)

Pole magnetyczne działa siłą tylko na ładunki, które się poruszają i nie lecą równolegle do linii pola.

• Wzór: $F_L=\mid q\mid vBsin\alpha$
• Kierunek: Reguła Lewej Dłoni. Linie $\vec{B}$ wbijają się w wewnętrzną stronę dłoni, 4 palce to prędkość $\vec{v}$, kciuk to siła $\overrightarrow{F_L}$​.
• UWAGA NA ZNAK: Reguła dotyczy ładunków dodatnich. Dla elektronu zwrot siły jest przeciwny do kciuka.

Gdy cząstka wpada prostopadle do jednorodnego pola ($\alpha =90°$), siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej. Tor to okrąg.

1. Reguła PRAWEJ dłoni = Indukcja (Generowanie prądu)

Stosujemy ją, gdy ruch wywołuje prąd.

• W Twoim zadaniu: Ruszasz poprzeczką (mechanicznie), co zmusza ładunki do ruchu (powstaje prąd).
• To sytuacja jak w prądnicy – wkładasz pracę mechaniczną, dostajesz prąd.
• **Prawa dłoń = Praca (Ruch) → Prąd

2. Reguła LEWEJ dłoni = Siła Lorentza/Amperéa (Silnik)

Stosujemy ją, gdy prąd wywołuje ruch (siłę).

• Gdyby w zadaniu było powiedziane: “Przez poprzeczkę płynie prąd w górę, oblicz w którą stronę zadziała na nią siła magnetyczna”.
• To sytuacja jak w silniku elektrycznym – wpuszczasz prąd, a urządzenie zaczyna się ruszać.
• **Lewa dłoń = Prąd → Ruch (Praca)

3. Siła Elektrodynamiczna (Przewodnik z prądem)

Suma sił Lorentza działających na ładunki w przewodzie daje siłę elektrodynamiczną.

• Wzór: $F_{el}=I\cdot l\cdot B\cdot sin\alpha$
• Kierunek: Reguła Lewej Dłoni (identycznie jak wyżej, tylko 4 palce wskazują umowny kierunek prądu II).
• Dwie takie siły działające na przeciwległe boki ramki z prądem tworzą moment obrotowy – to zasada działania silnika elektrycznego.

4. Strumień Magnetyczny i Prawo Faradaya

Aby wygenerować prąd bez baterii, potrzebna jest zmiana. Zjawisko to nazywamy indukcją elektromagnetyczną.

• Strumień magnetyczny: ${\Phi }_B=BS\cdot cos\alpha$ (Jednostka: Weber, $Wb$). Kluczowe: $\alpha$ to kąt między wektorem $\vec{B}$ a normalną (prostą prostopadłą) do powierzchni ramki. Jeśli pole “ślizga się” po ramce, strumień wynosi $0$.
• Prawo Faradaya: Zmieniający się strumień indukuje siłę elektromotoryczną (napięcie).$E=-N\frac{\Delta {\Phi }_B}{\Delta t}$

5. Reguła Lenza (Zasada przekory)

Znak minus w Prawie Faradaya. Układ zawsze broni się przed zmianą. Prąd indukcyjny płynie w takim kierunku, aby wytworzyć własne pole magnetyczne, które przeciwdziała zmianie strumienia.

• Wsuwasz magnes N   ⟹   zwojnica tworzy N, żeby go odepchnąć.
• Wysuwasz magnes N     ⟹ zwojnica tworzy S, żeby go przyciągnąć.

6. Prądnica i SEM w ruchu

Obracanie ramki w polu magnetycznym stale zmienia kąt $\alpha$, co generuje prąd przemienny (AC).

• SEM maksymalna: $E_{m}ax=NBS\omega$ Występuje wtedy, gdy strumień jest ZEROWY (ramka równoległa do linii pola, boki tną linie najszybciej).
• SEM dla ruchomej poprzeczki: Pręt o długości $l$ poruszający się z prędkością $v$ prostopadle do pola $\vec{B}$ działa jak bateria: $E=Blv$

7. Samoindukcja i Transformatory

• Samoindukcja: Zmiana prądu w cewce indukuje w niej samej napięcie, które opóźnia tę zmianę. ${\mathcal{E}}_{samo}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}$​ Energia cewki: $E=1/2\cdot L{I}^2$
• Transformator: Służy do zmiany napięcia. Działa wyłącznie na prąd przemienny (AC). Złożony z dwóch uzwojeń na wspólnym rdzeniu. Równanie przekładni (dla idealnego transformatora moc wejściowa = wyjściowa): $\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{I_2}{I_1}$​​ Napięcie rośnie proporcjonalnie do liczby zwojów, ale natężenie prądu wtedy maleje. Czyli jeśli dwa razy mniej zwojów to napięcie $U÷2$, dwa razy mniejsze, ale natężenie $I\times 2$, dwa razy większe