Wielomiany

1. Twierdzenie o reszcie

Twierdzenie: Reszta z dzielenie wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa wartości tego wielomianu dla argumentu $a$.
Np.
jeśli $\text{reszta}r=5$ , przy dzieleniu przez $(x-7$) to wielomian dla tej wartości $a$ przyjmuję wartość reszty $W(7)=5$.

$$R=W(a)$$

2. Twierdzenie Bezouta

Twierdzenie: Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$, wtw., gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian$(x-a)$,
vice versa jeśli $W$ dzieli się bez reszty przez dwumian $(x-a)$, to $a$ jest pierwiastkiem wielomianu.

$$\text{Jesˊli,}(x-a)\text{dzieli}W(x)⟺W(a)=0,(a\text{jest pierwiastkiem W})$$

3. Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu

Twierdzenie: Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych $W(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$ ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego $\frac{p}{q}$, to:

$$\begin{array}{rl}& p\text{jest dzielnikiem wyrazu wolnego }{a}_o\\ & q\text{jest dzielnikiem wspoˊłczynnika przy najwyz˙szej potędze }{a}_n\end{array}$$

np. Jeśli $W(x)=6x^3+\cdots +5$, to wszystkie możliwe $p=\{1,-1,5,-5\},q=\{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\}$
gdzie, konieczne jest sprawdzenie wszystkich możliwych kombinacji $\frac{p}{q}=\left\{\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6},\dots ,\frac{5}{-6}\right\}$ , który z nich spełnia bycie pierwiastkiem, po czym rozłożenie $W$ z Tw. Bezouta, np. metodą Hornera

4. Wzory Viete’a (dla stopnia 2 i 3)

Dla wielomianu $W(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
dla stopnia 2 :

1. $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
2. $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Dla stopnia 3 :

$$\begin{array}{r}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3=\frac{c}{a}\\ x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\end{array}$$