Dyfeomorfizm - zestaw 7

Morfizmy i przekształcenia

Oto wyjaśnienie różnic i związków między endomorfizmem, automorfizmem (liniowym) a dyfeomorfizmem, które często pojawiają się w algebrze liniowej i geometrii różniczkowej.

1. Podstawowe Definicje

• Endomorfizm ($f:V\to V$): Odwzorowanie (przekształcenie) obiektu matematycznego w ten sam obiekt. **Przykład (Algebra): Przekształcenie liniowe przestrzeni wektorowej w siebie.

• Automorfizm ($f:V\to V$): To endomorfizm, który jest odwracalny (jest bijekcją – wzajemnie jednoznaczny). Zachowuje całą strukturę obiektu (jest izomorfizmem na siebie).

• Automorfizm Liniowy: Jest to endomorfizm liniowy przestrzeni wektorowej, który jest odwracalny (macierz przekształcenia jest nieosobliwa, $\det (A)\ne 0$).

• Dyfeomorfizm ($f:M\to M$): Gładkie przekształcenie (klasy $C^k$ lub $C^{\infty }$) między rozmaitościami gładkimi, które jest odwracalne, a jego odwrotność również jest gładka.

2. Związki Między Pojęciami

Relacje między tymi pojęciami można ująć w hierarchii „im dalej, tym więcej założeń”:

1. Każdy automorfizm jest endomorfizmem (ale nie odwrotnie).
2. Każdy automorfizm liniowy przestrzeni skończeniewymiarowej jest dyfeomorfizmem (klasy $C^{\infty }$) samej siebie.
3. Dyfeomorfizm jest pojęciem znacznie ogólniejszym niż liniowy automorfizm – dyfeomorfizm może „wyginać” przestrzeń (być nieliniowy), podczas gdy automorfizm liniowy zachowuje strukturę liniową (proste przechodzą na proste).

3. Zestawienie (Tabela)

Pojęcie	Dziedzina i Przeciwdziedzina	Warunek (Bijekcja)	Gładkość / Struktura
Endomorfizm	Ta sama ($V\to V$)	Niekoniecznie	Zależy od kontekstu
Automorfizm	Ta sama ($V\to V$)	Tak	Zachowuje strukturę
Aut. Liniowy	Ta sama ($V\to V$)	Tak	Liniowe, odwracalne
Dyfeomorfizm	Ta sama ($M\to M$)	Tak	Gładkie ($C^{\infty }$)

4. Przykłady

• Endomorfizm (nie automorfizm): Rzutowanie na oś $X$ na płaszczyźnie ${\mathbb{R}}^2$: $f(x,y)=(x,0)$. Jest to endomorfizm, ale nie jest odwracalny (cała oś $Y$ przechodzi w zero).
• Automorfizm Liniowy: Obrót płaszczyzny o kąt $\theta$. Macierz obrotu jest nieosobliwa.
• Dyfeomorfizm (nieliniowy): Przekształcenie $f(x)=x^3+x$ na prostej $\mathbb{R}$ (jest gładkie, rosnące i odwracalne, ale nie zachowuje proporcji liniowych).

---

Dyfeomorfizm i funkcje wielu zmiennych

Definicja Dyfeomorfizmu: Niech $A$ i $B$ będą otwartymi podzbiorami przestrzeni ${\mathbb{R}}^k$.
To odwzorowanie $f:A\to B$ nazywamy dyfeomorfizmem klasy $C^1$: jeśli spełnia:

1. Jest wzajemnie jednoznaczne (bijekcja), $⟹$ jest różnowartościowe (iniekcja) oraz są “na” (surjekcja) zbiór $B$
2. Zarówno funkcja $f$, jak i jej funkcja odwrotna $f^{-1}$, są klasy $C^1$, czyli mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego.
   Funkcja jest odwracalna lokalnie jeżeli, jej macierz Jacobiego jest odwracalna $⟺\det MJf(x)\ne 0$

Po ludzku, można to określić, że Dyfeomorfizm to takie przekształcenie (rozciąganie, zginanie, obracanie) tej płaszczyzny, które jest:

1. Odwracalne: Możesz wrócić do pierwotnego kształtu bez żadnych problemów.
2. Gładkie: Nie robisz żadnych ostrych załamań, rozdarć ani sklejania punktów.

---

Aby przekształcenie było dyfeomorfizmem, musimy sprawdzić trzy rzeczy:

1. Gładkość ($C^1$): Funkcja musi być różniczkowalna i jej pochodne muszą być ciągłe (brak “skoków” w wykresie).
2. Różnowartościowość (Iniekcja): Żadne dwa różne punkty z dziedziny nie przechodzą w ten sam punkt w obrazie.
3. Niezerowy Jakobian: To najważniejszy warunek techniczny. Macierz pochodnych (macierz Jacobiego $Df(x)$) musi być odwracalna. W praktyce oznacza to, że wyznacznik tej macierzy, tzw. jakobian $\det (Df(x))$, musi być różny od zera w każdym punkcie ($\det (Df(x))\ne 0$). To gwarantuje, że przekształcenie “nie zgniata” przestrzeni do mniejszego wymiaru (np. nie zamienia płaszczyzny w linię).

Podsumowując

Dyfeomorfizm to gładkie, odwracalne przekształcenie, które zachowuje strukturę przestrzeni, a jego kluczowym warunkiem jest niezerowy jakobian.

---

Przykłady:
a) $k=1$, $U=\mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{arctg}x$

1. Różnowartościowość: Pochodna $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}>0$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$. Funkcja jest ściśle rosnąca, a zatem różnowartościowa.
2. Jakobian: Wyznacznik jednoelementowej macierzy to po prostu pochodna. Ponieważ $f^{\prime }(x)\ne 0$ dla każdego $x$, warunek jest spełniony.
   Odpowiedź: TAK, jest to dyfeomorfizm na swój obraz (przedział $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$).

---

(b) $k=2$, $U=\mathbb{R}\times (0,2\pi )$, $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$

1. Różnowartościowość: Załóżmy, że $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)$. Wtedy normy obu wektorów muszą być równe, czyli $e^{x_1}=e^{x_2}$, z czego wynika, że $x_1=x_2$. Po podstawieniu otrzymujemy $\cos y_1=\cos y_2$ oraz $\sin y_1=\sin y_2$. Ponieważ $y\in (0,2\pi )$ (przedział otwarty o długości jednego pełnego okresu bez końców), równość ta zachodzi tylko dla $y_1=y_2$. Zatem $f$ jest różnowartościowa.
2. Jakobian: Zgodnie z przykładem w notatkach, jakobian wynosi $Jf(x,y)=e^{2x}{\cos }^{2}y+e^{2x}{\sin }^{2}y=e^{2x}\ne 0$ dla wszystkich punktów z dziedziny.
   Odpowiedź: TAK, jest to dyfeomorfizm.

---

(c) $k=2$, $U={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, $f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

1. Różnowartościowość: Łatwo zauważyć, że $f(1,0)=(1,0)$ oraz $f(2,0)=(1,0)$. Funkcja po prostu rzutuje wszystkie punkty z danego promienia na okrąg jednostkowy. Nie jest więc różnowartościowa.
   Odpowiedź: NIE.

---

Jeśli chcemy skonstruować dyfeomorfizm?

Jeśli mamy podane dwa zbiory, np.
${\Omega }_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:1<x^2+y^2<4\}$
${\Omega }_2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:1<x^2+y^2<100\}$
To możemy skonstruować dyfeomorfizm stosując poniższy schemat:

Schemat rozwiązania:

1. Narysuj zbiory: Dokładnie naszkicuj zbiory ${\Omega }_1$ i ${\Omega }_2$. Zidentyfikuj ich kształty (np. koło jednostkowe, przesunięta elipsa, półpłaszczyzna).

2. Zbuduj transformacje pośrednie: Skonstruuj przejście krok po kroku za pomocą podstawowych operacji:

   • Przesunięcia (translacje): $f(x,y)=(x+a,y+b)$.

   • Skalowanie (powinowactwa): $f(x,y)=(ax,by)$ – np. zamiana koła w elipsę.

   • Rozciąganie do nieskończoności: Użyj funkcji takich jak $\tan$ lub transformacji wykorzystujących normę, np. $\frac{x}{1-\Vert x\Vert }$, aby przejść ze zbioru ograniczonego na całą przestrzeń.

3. Złóż funkcje: Ostateczny dyfeomorfizm $\Phi =f(g(x))$ to złożenie tych prostych przekształceń.

---

Tw. o funkcji uwikłanej

Definicja
Funkcją uwikłaną nazywamy istniejącą funkcję $y=f(x)$, gdzie $F(x,f(x))=0$. Postać uwikłana funkcji to postać, w której zmienne $x$ i $y$ są zapisane za pomocą jednej funkcji $F(x,y)=0$

np. równanie okręgu $x^2+y^2=1⟹x^2+y^2-1=0$ , mamy dwie zmienne w jednej funkcji, więc to jest to postać uwikłana, natomiast chcielibyśmy mieć to w postaci jawnej, czyli jako wykres $y=f(x)$.

Np. Funkcje uwikłana, w postaci jawnej powyższego równania to $y_1=\sqrt{1-x^2}$ dla $x\in [-1,1]$ (górna połowa okręgu)

Pytanie?: Kiedy w pobliżu danego punktu na krzywej, mogę zapisać jedną zmienną jako funkcję drugiej $f(x)=y$

Na to, przychodzi nam

Twierdzenie o funkcji uwikłanej, które mówi:

Jeśli masz punkt $(x_0,y_0)$, który spełnia nasze równanie $F(x)=0$, i jeśli pochodna cząstkowa po $y$ w tym punkcie jest różna od zera $\ne 0$, to w tym małym otoczeniu tego punktu możemy wyliczyć jednoznacznie $y$, czyli istnieje gładka funkcja $y=f(x)$
(inaczej; krzywa w tym punkcie nie jest pionowa, nie ma pionowej stycznej, czyli z bliska wygląda jak “łagodny pagórek”)

Poziomica to zbiór wszystkich punktów, dla których funkcja przyjmuję stałą wartość $c$

$$F(x,y,z)=c$$

Pytanie?: Kiedy poziomica nie ma ostrych kantów, samoprzecięć ani dzióbków
Na to, odpowiada nam

Twierdzenie o poziomicy regularnej, które mówi:

Jeśli gradient funkcji $\text{grad }F$ nigdy nie jest zerem na całej tej poziomicy, to poziomica jest gładką, $n-1$ - wymiarową powierzchnią.

---

Rozmaitości i styczne

Rozmaitości to po prostu “gładkie” krzywe, powierzchnie lub hiperpowierzchnie, które nie mają ostrych kantów lub dziur. Mogą być opisywane za pomocą równań $g(x)=0$ albo układów równań.

Pokazywanie, że zbiór jest rozmaitością

Aby wykazać, że zbiór jest rozmaitością, możemy użyć Twierdzenia o Poziomicy Regularnej (wniosek z Tw. o funkcji uwikłanej) do sprawdzania, czy zbiór zadany równaniami “nie ma kantów, szpiców ani samoprzecięć”.

Schemat rozwiązania:

1. Zdefiniuj funkcję: Przepisz warunek ze zbioru jako funkcję $F(x)=0$ (lub układ funkcji, jeśli jest więcej równań).
2. Oblicz macierz Jacobiego $JF$ (lub gradient): Jeśli równanie jest jedno, liczysz po prostu gradient $\nabla F$.
3. Zbadaj rząd na zbiorze $M$: Musisz udowodnić, że we wszystkich punktach należących do zbioru $M$ (czyli tam, gdzie $F(x)=0$), rząd macierzy $JF$ jest maksymalny (np. gradient jest niezerowy).
4. Wymiar: $\dim M=(\text{wymiar przestrzeni})-(\text{liczba niezalez˙nych roˊwnanˊ})$.
5. Uwaga z zadania: Jeśli gradient zeruje się na $M$, spróbuj wyłączyć coś przed nawias i sprawdzić, czy inna funkcja (np. bez potęgi) opisuje ten sam zbiór.

Z czego to wynika?
Z Twierdzenia o rzędzie. Jeśli w otoczeniu punktu funkcja opisująca zbiór ma pełny rząd, to zbiór ten lokalnie wygląda jak płaska przestrzeń (hiperpłaszczyzna), co jest dokładnie definicją rozmaitości.

Podsumowując, aby w zadaniach udowodnić, że rozmaitość jest klasy $C^1$ sprawdzamy dwie rzeczy:

1. Czy funkcja jest “gładka” : Pochodne funkcji $g$ istnieją i są ciągłe
2. Warunek rzędu $(\text{Gradient}\ne 0)$ : Funkcja $g$ nie może mieć w żadnym punkcie na powierzchni “płaskiego wierzchołka”, gdzie nachylenie w każdym kierunku jest równe $=0$.

Wymiar rozmaitości określamy za pomocą równania:

$$d=\text{liczba zmiennych (przestrzenˊ)}-\text{liczba roˊwnanˊ}$$

Przykład: Powierzchnia w 3D ($k=3$) określona jednym równaniem ($m=1$)
ma wymiar $3-1=2$ $⟹$ płaszczyzna sfera

np. Sprawdzenie czy zbiór $M$ przestrzeni ${\mathbb{R}}^3$ jest rozmaitością klasy $C^1$

$$M=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2+z^2=2,x+y+z=0\}$$

1. Mamy 3 zmienne ($k=3$) oraz 2 równania ($m=2$)

2. Definiujemy funkcje:
   $F_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2$
   $F_2(x,y,z)=x+y+z$

3. Liczymy Macierz Jacobiego $2\times 3$

   $$DF=\left[\begin{array}{ccc}2x& 2y& 2z\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$$

4. Teraz sprawdzamy czy macierz jest maksymalnego rzędu, (jeśli tak to rozmaitość jest klasy $C^1$), w naszym przypadku, rząd macierz zawsze będzie równy 2 (maks.) poza przypadkiem gdzie $2x=2y=2z⟹x=y=z$, czyli podejrzany jest punkt $(x,x,x)$ sprawdzając go względem drugiego równania $M:x+x+x=0⟹x=0$. Sprawdzamy więc punkt $(0,0,0)$. Punkt ten lecz, nie spełnia pierwszego równania $F_1,0\ne 2$, więc NIE NALEŻY do $M$.

5. Wniosek: W całym zbiorze $M$ założenia twierdzenia są spełnione, więc $M$ jest rozmaitością gładką ($C^1$), a wymiar wynosi $\dim M=k-m=3-2=1$ (Geometrycznie : okrąg z przecięcia sfery i płaszczyzny)

---

2. Przestrzeń styczna i normalna

Wyobraź sobie, że rozmaitością jest balon (powierzchnia 2D w przestrzeni 3D).
Przestrzeń normalna ($N_{p}M$) To prosta (lub ogólniej: przestrzeń), która jest prostopadła do powierzchni w danym punkcie $p$.

• Jak znaleźć? Najprościej jak się da: wektor normalny to po prostu gradient funkcji w tym punkcie: $\nabla g(p)$.
• Przykład: Jeśli punkt to np. $p=(1,2,3)$, a $\nabla g(p)=(1,0,4)$, to prosta normalna przechodzi przez $p$ i ma kierunek $(1,0,4)$. * Równanie prostej normalnej:

$$p+t\cdot \nabla g(p)$$

Przestrzeń styczna ($T_{p}M$) To płaszczyzna, która “dotyka” balona w jednym punkcie $p$, idealnie do niego przylegając (jak kartka papieru położona na piłce).

• Kluczowa cecha: Przestrzeń styczna jest prostopadła do wektora normalnego ($\nabla g(p)$).
• Jak znaleźć? Wektor $v=(v_1,v_2,v_3)$ należy do przestrzeni stycznej, jeśli jest prostopadły do gradientu, czyli ich iloczyn skalarny wynosi zero:

$$\nabla g(p)\cdot v=0$$

• Równanie płaszczyzny stycznej: Jeśli masz punkt $p=(x_0,y_0,z_0)$ i gradient $\nabla g(p)=(a,b,c)$, to równanie wygląda tak:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

Podsumowanie:

1. Gradient $\nabla g(p)$ – wskazuje kierunek “prosto od powierzchni” (normalna). (gradient oznacza tempo najszybszego wzrostu, dlatego dla poziomic, (również powierzchni itd.) najszybsze tempo wzrostu będzie dokładnie prostopadle do tej powierzchni.
2. Płaszczyzna styczna – zbiór wektorów prostopadłych do gradientu.