Całki

Przydatne całki:

---

Podstawowe:

$$\begin{array}{rl}& \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)\\ & \int (ax+b{)}^{n}dx=\frac{(ax+b{)}^{n+1}}{a(n+1)}+C(n\ne -1)\\ & \int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C\\ & \int \frac{c}{ax+b}dx=\frac{c}{a}\ln |ax+b|+C\end{array}$$

---

Funkcje wykładnicze:

$$\begin{array}{rl}& \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ & \int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C\end{array}$$

---

Funkcja logarytmiczna:

$$\int \ln xdx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$$

---

Funkcje trygonometryczne:

$$\begin{array}{rl}& \int \sin xdx=-\cos x+C\\ & \int \cos xdx=\sin x+C\\ & \int \tan xdx=\ln |\sec x|+C=-\ln |\cos x|+C\\ & \int \cot xdx=-\ln |\csc x|+C=\ln |\sin x|+C\\ & \int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C\\ & \int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C\\ & \int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C\end{array}$$

---

Inne useful całki

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C,\\ & \int \ln (ax+b)dx=\frac{1}{a}[(ax+b)\ln (ax+b)-(ax+b)]+C,\text{ dla }a\ne 0\\ & \int \arctan (ax+b)dx=\frac{1}{a}\left[(ax+b)\arctan (ax+b)-\ln \sqrt{(ax+b{)}^2+1}\right]+C\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C,\text{ for }|x|\le 1\\ \int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C,\text{ for }|x|\le 1\\ \int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C,x\in \mathbb{R}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \text{Z plusem: }\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln |x+\sqrt{x^2+k}|+C\\ & \text{Z minusem: }\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C\\ & \int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C\end{array}$$ $$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C$$

$\text{Całka Gaussa (Poissona)}:$

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$$

---

Całkowanie przez podstawianie:

Jeśli $u=g(x)$, gdzie $g^{\prime }(x)$ jest różniczkowalne na przedziale, oraz $f(x)$ jest różniczkowalne na przedziale odpowiadającym $g(x)$, to

$$\begin{array}{c}\int f\left[g(x)\right]g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du\\ =F(u)+C\\ =F(g(x))+C.\end{array}$$

Całkowanie przez części

$$\int u^{\prime }(x)v(x)dx=u(x)v(x)-\int u(x)v^{\prime }(x)dx$$

np.

$$\begin{array}{c}\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C\\ =\{\begin{array}{ll}u=x,& du=dx\\ dv=e^{x}dx,& v=e^x\end{array}\end{array}$$

Inne

$$\begin{array}{rl}& \text{Nieroˊwnosˊcˊ Troˊjkąta}:\\ & ||a+b||⩽||a||+||b||\\ & \text{Podstawowe tw. rach. całk. (pochodna całki)}:\\ & {\left({\int }_a^{g(x)}h(t)dt\right)}^{\prime }=h(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\\ & \text{Wzoˊr Stirlinga}:\\ & n!\approx (\frac{n}{e}{)}^n\sqrt{2\pi n}\\ & \text{Funkcja Gamma Eulera}:\\ & \Gamma (n)={\int }_0^{\infty }{x}^{n-1}{e}^{-x}dx=(n-1)!\end{array}$$