Inne - Nierówność Jensena, drugi wielomian Taylora

Inne wzory i fakty:

Nierówność Jensena

Wzór ogólny (dla funkcji wypukłej)

Jeżeli $f:I\to \mathbb{R}$ jest funkcją wypukłą na przedziale $I$, $x_1,x_2,\dots ,x_n\in I$, a $a_1,a_2,\dots ,a_n\ge 0$ są takimi liczbami, że $a_1+a_2+\cdots +a_i=1$, to zachodzi nierówność:

$$f\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{a}_{i}f(x_i)$$

Rozwinięcie wzoru:

$$f(a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n)\le a_{1}f(x_1)+a_{2}f(x_2)+\cdots +a_{n}f(x_n)$$

---

Wersja ze średnią arytmetyczną

Najczęściej stosowana wersja dla wag $a_i=\frac{1}{n}$ (dla $i=1,\dots ,n$) wygląda następująco:

$$f\left(\frac{1}{n}{x}_1+\frac{1}{n}{x}_2+\cdots +\frac{1}{n}{x}_n\right)\le \frac{1}{n}f(x_1)+\frac{1}{n}f(x_2)+\cdots +\frac{1}{n}f(x_n)$$

---

Wzór ogólny (drugi wielomian Taylora)

$$\begin{array}{rl}& T_2(x,y)=\\ & +f(x_0,y_0)\\ & +\left[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0)\right]\\ & +\frac{1}{2!}\left[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}(x_0,y_0)(y-y_0{)}^2\right]\end{array}$$

Rozbicie wzoru na składniki

Wzór składa się z trzech części:

1. Stopień 0 (wartość w punkcie): $f(x_0,y_0)$
2. Stopień 1 (różniczka pierwszego rzędu): $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
3. Stopień 2 (różniczka drugiego rzędu):
   $\frac{1}{2}[f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0{)}^2$ $⟹x^2$
   $+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)$ $⟹2xy$
   $+f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0{)}^2]$ $⟹y^2$