Mikroekonomia II

Podstawowy podręcznik do czytania

Mikroekonomia Variana, Hal Varian

Mikroekonomia – Notatki (Produkcja, Koszty, Konkurencja)

---

1: Technologia produkcji

Fundament Matematyczny

• Funkcja produkcji: $y=f(x_1,x_2)$ określa maksymalną ilość produktu $y$ z nakładów $x_1,x_2$.
• Produkt krańcowy (MP): $M{P}_1=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}$, $M{P}_2=\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}$.
• Techniczna stopa substytucji (TRS): $TRS=\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2}$.
• Przychody ze skali: Dla mnożnika $t>1$, jeśli $f(t{x}_1,t{x}_2)=tf(x_1,x_2)$ to przychody stałe; jeśli $>tf(x_1,x_2)$ to rosnące; jeśli $<tf(x_1,x_2)$ to malejące.

Typologia zadań i algorytmy

• Typ 1: Badanie przychodów ze skali.
  1. Przemnóż każdy argument funkcji produkcji przez parametr skali $t>1$: $f(t{x}_1,t{x}_2)$.
  2. Wyciągnij parametr $t$ przed całą funkcję.
  3. Sprawdź potęgę parametru $t$. Jeśli wynosi 1 – przychody stałe; jeśli $>1$ – rosnące; jeśli $<1$ – malejące.
• Typ 2: Wyznaczanie i weryfikacja monotoniczności TRS.
  1. Oblicz $M{P}_1$ jako pochodną cząstkową funkcji produkcji względem $x_1$.
  2. Oblicz $M{P}_2$ jako pochodną cząstkową względem $x_2$.
  3. Zbuduj ułamek $TRS=-\frac{M{P}_1}{M{P}_2}$.
  4. Aby sprawdzić prawo malejącej TRS (wypukłość izokwanty), zbadaj jak zachowuje się wartość bezwzględna TRS przy wzroście $x_1$ i spadku $x_2$.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Izokwanta to zbiór kombinacji nakładów generujących dokładnie ten sam poziom produkcji.
• TRS definiuje nachylenie izokwanty i wskazuje stopień wymiany jednego czynnika na drugi przy zachowaniu tej samej produkcji.
• Krótki okres to sytuacja, gdzie przynajmniej jeden nakład jest stały; długi okres pozwala na swobodną zmianę wszystkich nakładów.

Triki i pułapki

• Mylenie koncepcji: Malejący produkt krańcowy to właściwość krótkookresowa (zmieniamy jeden nakład, reszta stała). Malejące przychody ze skali to właściwość długookresowa (zmieniamy wszystkie nakłady równocześnie).
• Znak TRS: Poprawny wzór na nachylenie izokwanty zawsze zawiera znak minus. Brak minusa niszczy logikę interpretacji nachylenia.

Przykładowy ‘Problem Treningowy’
Zadanie: Zbadaj przychody ze skali oraz wyznacz TRS dla funkcji Cobba-Douglasa $Q=K^{0.5}{L}^{0.5}$.
Rozwiązanie:

1. Przychody ze skali: Podstawiamy $tK$ i $tL$.
   $f(tK,tL)=(tK{)}^{0.5}(tL{)}^{0.5}=t^{0.5}{K}^{0.5}\cdot t^{0.5}{L}^{0.5}=t^{0.5+0.5}{K}^{0.5}{L}^{0.5}=t^1\cdot f(K,L)$.
   Przychody ze skali są stałe.
2. TRS:
   $M{P}_K=0.5K^{-0.5}{L}^{0.5}$
   $M{P}_L=0.5K^{0.5}{L}^{-0.5}$
   $TRS=-\frac{M{P}_L}{M{P}_K}=-\frac{0.5K^{0.5}{L}^{-0.5}}{0.5K^{-0.5}{L}^{0.5}}=-\frac{K}{L}$.

---

2: Maksymalizacja zysku

Fundament Matematyczny

• Funkcja zysku: $\pi =pf(x_1,x_2)-w_1{x}_1-w_2{x}_2$.
• Linia izozysku: $y=\frac{\pi }{p}+\frac{w_2}{p}{x}_2+\frac{w_1}{p}{x}_1$.
• Warunki pierwszego rzędu (FOC) - Krótki Okres (gdzie $x_2$ stałe): $p\cdot M{P}_1(x_1,x_2)=w_1$.
• Warunki pierwszego rzędu (FOC) - Długi Okres: $p\cdot M{P}_1=w_1$ oraz $p\cdot M{P}_2=w_2$.
• Słaby Aksjomat Maksymalizacji Zysku (WAPM): $\Delta p\Delta y-\Delta w_1\Delta x_1-\Delta w_2\Delta x_2\ge 0$.

Typologia zadań i algorytmy

• Typ 1: Wyznaczanie popytu bezwarunkowego na czynnik.
  1. Wyznacz produkt krańcowy dla zmiennego czynnika ($M{P}_1$).
  2. Przemnóż $M{P}_1$ przez cenę produktu $p$.
  3. Przyrównaj do ceny czynnika $w_1$ ($p\cdot M{P}_1=w_1$).
  4. Przekształć algebraicznie i wyciągnij $x_1$ na jedną stronę. Otrzymujesz funkcję popytu.
• Typ 2: Twierdzenia komparatywne (WAPM).
  1. Sprawdź różnice cen ($\Delta p,\Delta w$) i wielkości produkcji/nakładów ($\Delta y,\Delta x$).
  2. Podstaw wartości do nierówności $\Delta p\Delta y-\Delta w_1\Delta x_1-\Delta w_2\Delta x_2\ge 0$.
  3. Jeżeli sprawdzasz wpływ zmiany ceny czynnika $w_1$ (przy stałym $p$ i $w_2$), uprość do $-\Delta w_1\Delta x_1\ge 0$, co implikuje, że krzywe popytu na czynnik mają ujemne nachylenie.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Zysk maksymalizuje się w punkcie, w którym wartość produktu krańcowego ($VMP=p\cdot MP$) zrównuje się z kosztem jednostkowym czynnika ($w$).
• Nachylenie linii izozysku na wykresie ($x_1,y$) to $w_1/p$.
• Firma na rynku doskonale konkurencyjnym operująca w warunkach stałych przychodów ze skali w długim okresie osiąga dokładnie zerowy zysk ekonomiczny.

Triki i pułapki

• Długookresowy Cobb-Douglas: Funkcja $f(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^b$ przy $a+b=1$ (stałe przychody) nie posiada ściśle określonej skali produkcji dla maksymalizacji zysku. Funkcja podaży jest zdefiniowana tylko, gdy $a+b<1$ (malejące przychody ze skali).

Przykładowy ‘Problem Treningowy’
Zadanie: Funkcja produkcji wynosi $y=x_1^{0.5}{x}_2^{0.5}$. W krótkim okresie $x_2=4$. Ceny wynoszą $p=10,w_1=5,w_2=2$. Oblicz maksymalizujące zysk zużycie $x_1$.
Rozwiązanie:

1. Podstaw stały nakład: $y=x_1^{0.5}\cdot 4^{0.5}=2x_1^{0.5}$.
2. Oblicz MP_1: $M{P}_1=2\cdot 0.5x_1^{-0.5}=x_1^{-0.5}$.
3. Zastosuj FOC: $p\cdot M{P}_1=w_1$.
   $10\cdot x_1^{-0.5}=5$
   $x_1^{-0.5}=0.5$
   $\frac{1}{\sqrt{x_1}}=0.5\Rightarrow \sqrt{x_1}=2\Rightarrow x_1=4$.
   Optymalne zużycie $x_1$ wynosi 4.

---

3: Minimalizacja kosztów

Fundament Matematyczny

• Cel: $\min w_1{x}_1+w_2{x}_2$ przy warunku $f(x_1,x_2)=y$.
• Równanie izokoszty: $x_2=\frac{C}{w_2}-\frac{w_1}{w_2}{x}_1$ (nachylenie to $-w_1/w_2$).
• Metoda Lagrange’a: $\mathcal{L}=w_1{x}_1+w_2{x}_2-\lambda (f(x_1,x_2)-y)$.
• FOC (Warunek styczności): $TRS=-\frac{w_1}{w_2}$ lub inaczej $\frac{M{P}_1}{M{P}_2}=\frac{w_1}{w_2}$.
• Słaby Aksjomat Minimalizacji Kosztów (WACM): $\Delta w_1\Delta x_1+\Delta w_2\Delta x_2\le 0$.

Typologia zadań i algorytmy

• Typ 1: Wyznaczanie warunkowego popytu na czynniki i funkcji kosztu całkowitego (LTC).
  1. Zapisz FOC z warunku styczności: $\frac{M{P}_1}{M{P}_2}=\frac{w_1}{w_2}$.
  2. Wyznacz ścieżkę ekspansji (np. $x_1$ w funkcji $x_2,w_1,w_2$).
  3. Wstaw ścieżkę ekspansji do ograniczenia technologicznego $f(x_1,x_2)=y$.
  4. Wyznacz warunkowe funkcje popytu: $x_1(y,w_1,w_2)$ oraz $x_2(y,w_1,w_2)$.
  5. Podstaw popyty do równania kosztów $C=w_1{x}_1+w_2{x}_2$, aby uzyskać $c(w_1,w_2,y)$.
• Typ 2: Optymalna alokacja produkcji między dwa zakłady.
  1. Zidentyfikuj oddzielne funkcje kosztów $T{C}_1(y_1)$ i $T{C}_2(y_2)$.
  2. Wylicz koszty krańcowe dla obu zakładów ($M{C}_1$, $M{C}_2$).
  3. Przyrównaj koszty krańcowe: $M{C}_1(y_1)=M{C}_2(y_2)$.
  4. Skorzystaj z ograniczenia podaży całkowitej: $y_1+y_2=y$.
  5. Rozwiąż układ równań wyznaczając wielkości $y_1$ oraz $y_2$.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Popyt generowany przez minimalizację kosztów to popyt warunkowy (uzależniony od założonego $y$), a nie bezwarunkowy (uzależniony od $p$ rynkowego).
• Nachylenie izokwanty (technologia) zrównuje się z nachyleniem izokoszty (ceny rynkowe czynników).
• Dla stałych przychodów ze skali funkcja kosztów rośnie liniowo względem produkcji $C=c(w_1,w_2,1)\cdot y$. Dla malejących przychodów rośnie ponadliniowo, dla rosnących – podliniowo.

Triki i pułapki

• Doskonałe komplementarności (minimum): Użycie pochodnych i warunku FOC dla funkcji typu $f(x_1,x_2)=\min \{x_1,x_2\}$ jest krytycznym błędem (funkcja nie ma tam gładkiej pochodnej). Popyt warunkowy odczytujemy prosto z proporcji: $x_1=x_2=y$.
• Koszty utopione vs. quasi-stałe: Utopione koszty ponosi się bezzwrotnie. Koszty quasi-stałe ponosimy jedynie, jeśli firma w ogóle wytwarza ($y>0$). Jeśli $y=0$, koszty quasi-stałe wynoszą 0.

Przykładowy ‘Problem Treningowy’
Zadanie: Przedsiębiorstwo ma funkcję produkcji $q=K^{0.5}{L}^{0.5}$. Ceny czynników to $w=10$, $r=40$. Wyznacz długookresową funkcję całkowitych kosztów (LTC) w zależności od produkcji $q$.
Rozwiązanie:

1. Warunek styczności (FOC):
   $\frac{M{P}_L}{M{P}_K}=\frac{w}{r}$
   $\frac{0.5K^{0.5}{L}^{-0.5}}{0.5K^{-0.5}{L}^{0.5}}=\frac{10}{40}$
   $\frac{K}{L}=\frac{1}{4}\Rightarrow L=4K$. (Ścieżka ekspansji)
2. Podstaw do funkcji produkcji:
   $q=K^{0.5}\cdot (4K{)}^{0.5}$
   $q=K^{0.5}\cdot 2K^{0.5}=2K\Rightarrow K(q)=0.5q$.
3. Wyznacz drugi czynnik:
   $L=4K\Rightarrow L(q)=4(0.5q)=2q$.
4. Skonstruuj funkcję LTC:
   $LTC=w\cdot L(q)+r\cdot K(q)=10(2q)+40(0.5q)=20q+20q=40q$.
   Koszt całkowity to $LTC=40q$.

4: Krzywe kosztów

Fundament Matematyczny

• Koszty całkowite (TC): $c(y)=c_v(y)+F$, gdzie $c_v(y)$ to koszty zmienne, $F$ to koszty stałe.
• Koszty przeciętne (AC): $AC(y)=\frac{c(y)}{y}=AVC(y)+AFC(y)$.
• Koszty krańcowe (MC): $MC(y)=\frac{\Delta c(y)}{\Delta y}$ lub pochodna $c^{\prime }(y)$.
• Warunek minimum kosztów przeciętnych: $MC(y)=AC(y)$ (w punkcie minimum AC krzywa MC przecina krzywą AC). To samo dotyczy minimum $AVC$.
• Związek długiego i krótkiego okresu: Długookresowa krzywa $AC$ (LAC) to dolna obwiednia krótkookresowych krzywych $AC$ (SAC). Zachodzi $c(y)\le c_s(y,k^{\ast })$ dla wszystkich poziomów produkcji.

Typologia zadań i algorytmy

1. Wyznaczanie funkcji kosztów (AC, AVC, MC) z równania kosztu całkowitego
   • Krok 1: Wyodrębnij z podanej funkcji $c(y)$ koszty stałe $F$ (wyraz wolny) i zmienne $c_v(y)$ (wyrażenia z $y$).
   • Krok 2: Podziel poszczególne człony przez $y$, aby otrzymać $AC(y)$, $AVC(y)$ i $AFC(y)$.
   • Krok 3: Oblicz pochodną funkcji $c(y)$ po $y$, aby wyznaczyć $MC(y)$.
2. Optymalna alokacja produkcji między dwa zakłady
   • Krok 1: Wyznacz funkcje kosztu krańcowego dla obu zakładów: $M{C}_1(y_1)$ oraz $M{C}_2(y_2)$.
   • Krok 2: Przyrównaj je do siebie: $M{C}_1(y_1)=M{C}_2(y_2)=c$.
   • Krok 3: Rozwiąż układ równań uwzględniając warunek $y_1+y_2=y$, aby wyznaczyć wielkości $y_1$ i $y_2$ minimalizujące koszty.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Krzywa $MC$ zawsze przecina krzywe $AC$ i $AVC$ w ich minimach.
• Dla pierwszej jednostki produkcji ($y=1$ lub $y\to 0$), koszt krańcowy równa się przeciętnemu kosztowi zmiennemu: $MC(0)=AVC(0)$.
• Pole pod krzywą kosztów krańcowych od zera do $y$ to całkowity koszt zmienny $c_v(y)$.

Triki i pułapki

• Szukanie minimum AC: Studenci często liczą minimum biorąc pochodną z $AC$ i przyrównując do zera, co bywa uciążliwe algebraicznie. Prościej jest przyrównać od razu $MC=AC$.
• Mylenie kosztu stałego ($F$) przy liczeniu $MC$: Przy obliczaniu pochodnej wyraz stały znika. Funkcja $c_v(y)$ i $c(y)$ mają dokładnie taki sam koszt krańcowy.

Problem Treningowy: Wyznaczanie minimum przeciętnego kosztu

• Problem: Dana jest funkcja kosztów $c(y)=10y^2+1000$. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny jest minimalny?
• Rozwiązanie:
  1. Wyznaczamy $AC(y)=\frac{10y^2+1000}{y}=10y+\frac{1000}{y}$.
  2. Wyznaczamy $MC(y)=\frac{d}{dy}(10y^2+1000)=20y$.
  3. Przyrównujemy $MC=AC$: $20y=10y+\frac{1000}{y}$.
  4. Przekształcamy: $10y=\frac{1000}{y}⟹y^2=100⟹y=10$.
  5. Wynik: Minimum przeciętnego kosztu występuje dla $y=10$.

---

5: i Doskonała Konkurencja: Podaż i równowaga

Fundament Matematyczny

• Maksymalizacja zysku (FOC): $p=MC(y)$.
• Warunek rzędu drugiego (SOC): $M{C}^{\prime }(y)\ge 0$ (krzywa $MC$ musi rosnąć).
• Krótkookresowy warunek zamknięcia: $p\ge AVC(y)$ (jeśli cena spadnie poniżej $AVC$, optymalne $y=0$).
• Zysk ($\pi$): $\pi =py-c(y)$.
• Nadwyżka producenta (PS): $PS=py-c_v(y)=\pi +F$ (pole powyżej krzywej $MC$).
• Równowaga długookresowa wolnokonkurencyjna: $p=\min AC(y)=MC(y)$. Zyski ekonomiczne firm wynoszą w długim okresie zero ($\pi =0$).

Typologia zadań i algorytmy

1. Znajdowanie krzywej podaży (krótki okres)
   • Krok 1: Wyznacz z podanej funkcji kosztów $MC(y)$ oraz $AVC(y)$.
   • Krok 2: Przyrównaj $p=MC(y)$ i wyznacz $y$ jako funkcję $p$, tworząc odwrotną funkcję podaży.
   • Krok 3: Oblicz minimum $AVC(y)$. Podaż wynosi $y(p)$ dla $p\ge \min AVC$ oraz $0$ dla $p<\min AVC$.
2. Równowaga długookresowa i liczba firm w gałęzi
   • Krok 1: Znajdź minimum kosztu przeciętnego ($\min AC$), przyrównując $MC=AC$.
   • Krok 2: Wyznaczona wartość $AC$ to długookresowa cena równowagi ($p^{\ast }$), a odpowiednie $y^{\ast }$ to produkcja pojedynczej firmy.
   • Krok 3: Podstaw $p^{\ast }$ do rynkowej funkcji popytu $D(p)$, aby wyznaczyć całkowitą produkcję rynkową $Q^{\ast }$.
   • Krok 4: Oblicz liczbę firm $n=\frac{Q^{\ast }}{y^{\ast }}$.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Długookresowa krzywa podaży branży wolnokonkurencyjnej o identycznych kosztach jest poziomą linią na poziomie $\min AC$.
• Przedsiębiorstwo wolnokonkurencyjne to cenobiorca (popyt dla pojedynczej firmy jest idealnie elastyczny, $p=const$).
• Firma może produkować mimo strat (ujemnych zysków) w krótkim okresie, o ile pokrywa koszty zmienne ($p>AVC$).

Triki i pułapki

• Opadające $MC$: Punkt, w którym $p=MC$ po lewej stronie minimum $MC$, to punkt minimalizacji zysku, a nie maksymalizacji. Zawsze upewnij się, że rozpatrujesz rosnącą część krzywej $MC$.
• Liczba firm nie jest stała w długim okresie: Jeśli rośnie popyt długookresowo, cena wraca do poziomu $\min AC$, zmienia się tylko liczba firm na rynku, a zysk każdej zawsze wraca do zera.

Problem Treningowy: Równowaga długookresowa i liczba firm

• Problem: Wszystkie firmy mają identyczne funkcje kosztów $LTC(q)=q^2+16$. Popyt rynkowy to $D(p)=2000-p$. Ile firm będzie działać w gałęzi w warunkach długookresowej równowagi?
• Rozwiązanie:
  1. Wyznaczamy $MC=2q$ oraz $AC=\frac{q^2+16}{q}=q+\frac{16}{q}$.
  2. Szukamy minimum AC: $MC=AC⟹2q=q+\frac{16}{q}⟹q=\frac{16}{q}⟹q^2=16⟹q=4$.
  3. Pojedyncza firma wyprodukuje $q=4$.
  4. Cena w długim okresie wynosi $\min AC$: $p=MC(4)=2(4)=8$ (lub $AC(4)=8$).
  5. Wyznaczamy wielkość rynkową podstawiając $p=8$ do wzoru na popyt: $Q=D(8)=2000-8=1992$
  6. Ustalamy liczbę firm: $n=\frac{Q}{q}=\frac{1992}{4}=498$.
  7. Wynik: W gałęzi będzie działać 498 firm.

6: Monopol

Fundament Matematyczny

• Funkcja zysku monopolisty: $\Pi (y)=r(y)-c(y)=p(y)y-c(y)$.
• Warunek pierwszego rzędu (FOC): $MR(y)=MC(y)$, co można rozwinąć do postaci $p(y)+p^{\prime }(y)y=c^{\prime }(y)$.
• Warunek drugiego rzędu (SOC): $r^{\prime \prime }(y)-c^{\prime \prime }(y)\le 0$, co oznacza, że nachylenie krzywej kosztu krańcowego musi być większe niż nachylenie krzywej utargu krańcowego.
• Związek z elastycznością popytu: $MR(y)=p(y)\left[1+\frac{1}{ϵ(y)}\right]=p(y)\left[1-\frac{1}{|ϵ(y)|}\right]$.
• Indeks Lernera (siła monopolowa): $L=\frac{p-MC}{p}=\frac{1}{|ϵ|}$.
• Wzór na narzut (markup pricing): $p(y)=\frac{MC(y)}{1-1/|ϵ(y)|}$.
• Dla liniowego popytu $p(y)=a-by$: funkcja utargu krańcowego ma postać $MR(y)=a-2by$.

Typologia zadań i algorytmy

1. Optymalizacja produkcji i ceny monopolisty (Wyznaczanie równowagi)

   • Krok 1: Przekształć funkcję popytu do postaci odwrotnej $p(y)$ (cena jako funkcja ilości).
   • Krok 2: Zbuduj funkcję całkowitego utargu $TR(y)=p(y)\cdot y$.
   • Krok 3: Oblicz pochodną $TR$ po $y$, by uzyskać $MR(y)$.
   • Krok 4: Oblicz pochodną funkcji kosztów całkowitych $TC(y)$, by uzyskać $MC(y)$.
   • Krok 5: Przyrównaj $MR(y)=MC(y)$ i rozwiąż równanie ze względu na $y^{\ast }$.
   • Krok 6: Podstaw $y^{\ast }$ do odwrotnej funkcji popytu $p(y)$, aby uzyskać cenę $p^{\ast }$.

2. Ocena wpływu podatku ilościowego ($t$) na decyzje monopolisty

   • Krok 1: Zdefiniuj nowy koszt krańcowy jako $M{C}_{nowe}(y)=MC(y)+t$.
   • Krok 2: Przyrównaj $MR(y)=M{C}_{nowe}(y)$.
   • Krok 3: Wyznacz nową ilość równowagi $y_t^{\ast }$ oraz nową cenę $p_t^{\ast }$.
   • Krok 4: Wylicz zmianę ceny $\Delta p=p_t^{\ast }-p^{\ast }$. W przypadku popytu liniowego i stałych $MC$, $\Delta p=t/2$.

3. Obliczanie bezpowrotnej straty społecznej (Deadweight Loss - DWL)

   • Krok 1: Znajdź optymalny punkt monopolisty ($y_m,p_m$) z warunku $MR(y)=MC(y)$.
   • Krok 2: Znajdź punkt równowagi doskonale konkurencyjnej ($y_c,p_c$) przyrównując odwrotną funkcję popytu do kosztu krańcowego: $p(y)=MC(y)$.
   • Krok 3: Oblicz pole powierzchni między krzywą popytu a krzywą kosztu krańcowego w przedziale od $y_m$ do $y_c$. Dla funkcji liniowych jest to pole trójkąta: $DWL=\frac{1}{2}\cdot (p_m-MC(y_m))\cdot (y_c-y_m)$.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Zyskowna optymalizacja zawsze zachodzi na elastycznej części krzywej popytu ($|ϵ|\ge 1$), nigdy na nieelastycznej ($|ϵ|<1$).
• Krzywa utargu krańcowego ($MR$) dla liniowego popytu zawsze wychodzi z tego samego punktu na osi rzędnych, ale opada dwa razy szybciej.
• Brak krzywej podaży – monopolista wybiera punkt na krzywej popytu, nie posiada funkcji przypisującej wielkość produkcji do każdej rynkowej ceny.

Triki i pułapki

• Błąd w wyznaczaniu popytu: Użycie prostej funkcji popytu $D(p)$ do mnożenia przez $y$ zamiast przejścia na odwrotną funkcję popytu $p(y)$ przy liczeniu $TR$.
• Ujemne zyski: Monopolista stosujący $MR=MC$ wcale nie musi osiągać dodatnich zysków. Konieczne jest sprawdzenie warunku $p^{\ast }\ge AC(y^{\ast })$; w przeciwnym razie monopol naturalny zmuszony do wyceny na poziomie $MC$ poniesie straty.
• Zła granica dla DWL: Używanie krzywej utargu krańcowego ($MR$) jako górnej granicy przy całkowaniu/liczeniu pola trójkąta DWL zamiast właściwej krzywej popytu ($p(y)$).

Przykładowy ‘Problem Treningowy’
Zadanie: Monopolista napotyka funkcję popytu $D(p)=100-2p$, a jego funkcja kosztów to $c(y)=2y$. Wyznacz wielkość produkcji, cenę, zysk oraz bezpowrotną stratę społeczną (DWL).

Rozwiązanie:

1. Wyznaczamy odwrotną funkcję popytu:
   $y=100-2p\Rightarrow 2p=100-y\Rightarrow p(y)=50-0.5y$.
2. Wyznaczamy utarg całkowity i krańcowy:
   $TR(y)=(50-0.5y)\cdot y=50y-0.5y^2$
   $MR(y)=50-y$.
3. Wyznaczamy koszt krańcowy:
   $MC(y)=c^{\prime }(y)=2$.
4. Zestawiamy warunek FOC ($MR=MC$):
   $50-y=2\Rightarrow y^{\ast }=48$.
5. Obliczamy cenę dla $y^{\ast }$:
   $p^{\ast }=50-0.5(48)=26$.
6. Obliczamy zysk:
   $\Pi =p^{\ast }\cdot y^{\ast }-c(y^{\ast })=26\cdot 48-2(48)=1248-96=1152$.
7. Analiza alokacji konkurencyjnej (aby obliczyć DWL):
   $p(y)=MC(y)\Rightarrow 50-0.5y_c=2\Rightarrow 0.5y_c=48\Rightarrow y_c=96$.
8. Obliczamy DWL (pole trójkąta między $p(y)$ a $MC$ na przedziale od $y_m$ do $y_c$):
   Wysokość trójkąta dla $y_m=48$ wynosi $p(48)-MC(48)=26-2=24$.
   Podstawa trójkąta to $\Delta y=y_c-y_m=96-48=48$.
   $DWL=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 48=576$.

---

7: Zachowanie monopolu - dyskryminacja cenowa

Fundament Matematyczny

• Dyskryminacja cenowa III stopnia (FOC): ${\max }_{y_1,y_2}{p}_1(y_1)y_1+p_2(y_2)y_2-c(y_1+y_2)$.
  Warunki pierwszego rzędu: $M{R}_1(y_1)=MC(y_1+y_2)$ oraz $M{R}_2(y_2)=MC(y_1+y_2)$.
• Elastyczność a dyskryminacja III stopnia: $p_1\left[1-\frac{1}{|{ϵ}_1|}\right]=p_2\left[1-\frac{1}{|{ϵ}_2|}\right]$.
• Dyskryminacja cenowa I stopnia: Producent przechwytuje całą nadwyżkę konsumenta, ustalając $p=MC$, skąd $y^{\ast }=y_c$ (brak bezpowrotnej straty społecznej).
• Produkcja w wielu zakładach: $M{C}_1(y_1)=M{C}_2(y_2)=MR(Y)$, gdzie $Y=y_1+y_2$.

Typologia zadań i algorytmy

1. Dyskryminacja cenowa trzeciego stopnia (podział na rynki)

   • Krok 1: Mając funkcje popytu dla obu grup, wyznacz odwrotne funkcje popytu $p_1(y_1)$ i $p_2(y_2)$.
   • Krok 2: Policz krzywe utargów krańcowych dla obu rynków: $M{R}_1(y_1)$ i $M{R}_2(y_2)$.
   • Krok 3: Znajdź wspólną funkcję $MC$ zależną od łącznej produkcji $y_1+y_2$ (lub stałą).
   • Krok 4: Rozwiąż układ równań $M{R}_1(y_1)=MC$ oraz $M{R}_2(y_2)=MC$ dla zmiennych $y_1$ i $y_2$.
   • Krok 5: Obliczone ilości podstaw do odwrotnych funkcji popytu obu grup, aby ustalić zróżnicowane ceny $p_1,p_2$.

2. Monopol wielozakładowy (Rozdział produkcji na fabryki)

   • Krok 1: Policz utarg krańcowy $MR(Y)$ z globalnego popytu na rynku.
   • Krok 2: Zapisz układ równań z przyrównania krańcowych kosztów w każdej fabryce do $MR(Y)$: $M{C}_1(y_1)=MR(y_1+y_2)$ oraz $M{C}_2(y_2)=MR(y_1+y_2)$.
   • Krok 3: Dodaj warunek $y_1+y_2=Y$ i rozwiąż układ równań dla obu zakładów. (Jeśli koszty krańcowe są stałe i różne, produkuj wszystko w tańszym).

3. Optymalizacja dla jednolitej ceny na rynkach segmentowanych (Brak dyskryminacji)

   • Krok 1: Dodaj do siebie proste (nie odwrotne!) funkcje popytu $Y(p)=D_1(p)+D_2(p)$.
   • Krok 2: Wyznacz punkt załamania (cenę, przy której rynek o niższej skłonności do płacenia wypada z gry).
   • Krok 3: Odwróć zagregowaną funkcję popytu do $p(Y)$.
   • Krok 4: Oblicz $MR(Y)$ i przyrównaj do $MC(Y)$ znajdując globalne $Y^{\ast }$ i $p^{\ast }$.
   • Krok 5: ZAWSZE weryfikuj, czy optymalna jednolita cena nie jest zbyt wysoka dla słabszego rynku. Jeśli odpycha słabszy rynek, rozwiązaniem jest oparcie się tylko na silniejszym segmencie.

Kluczowe właściwości (Checklista)

• Na rynku objętym dyskryminacją wyższa cena jest zawsze ustalana na tym rynku, który ma mniejszą (co do wartości bezwzględnej) cenową elastyczność popytu.
• Dyskryminacja cenowa pierwszego stopnia charakteryzuje się efektywnością Pareto – wypracowana jest cała możliwa nadwyżka społeczna, ale przypada ona wyłącznie monopoliście.
• Taryfa dwuczęściowa z identycznymi konsumentami: optymalne jest ustalenie ceny zmiennej na poziomie $p=MC$, a abonamentu (opłaty stałej) na poziomie całkowitej nadwyżki konsumenta.

Triki i pułapki

• Dodawanie cen zamiast ilości: Podstawowy błąd przy szukaniu jednolitej ceny. Agreguje się wielkości z popytów dla danej ceny ($Y=y_1+y_2$), absolutnie nie wolno dodawać funkcji typu $p_1(y_1)+p_2(y_2)$.
• Błąd załamania popytu (Kinked demand): Niesprawdzenie dziedziny, w której obowiązuje połączona funkcja popytu. Często optymalna cena z przyrównania “agregatu” wywołuje ujemny popyt w jednym z rynków – wtedy model matematyczny zniekształca wynik, a monopolista powinien w rzeczywistości obsługiwać tylko silniejszy rynek.

Przykładowy ‘Problem Treningowy’
Zadanie: Monopolista obsługuje dwa odizolowane rynki z popytami: $D_1(p_1)=100-p_1$ oraz $D_2(p_2)=100-2p_2$. Koszt krańcowy produkcji wynosi stale $MC=20$. Wyznacz optymalne ceny pod warunkiem: A) monopolista stosuje dyskryminację cenową III stopnia; B) zabroniono mu stosowania dyskryminacji.

Rozwiązanie Część A (Dyskryminacja):

1. Odwracamy funkcje popytu na subrynkach:
   Rynek 1: $p_1(y_1)=100-y_1$.
   Rynek 2: $p_2(y_2)=50-0.5y_2$.
2. Wyznaczamy $MR$ dla subrynków:
   $M{R}_1=100-2y_1$
   $M{R}_2=50-y_2$.
3. Przyrównujemy do $MC=20$:
   $100-2y_1=20\Rightarrow 2y_1=80\Rightarrow y_1^{\ast }=40$.
   $50-y_2=20\Rightarrow y_2^{\ast }=30$.
4. Wyznaczamy odrębne ceny:
   $p_1^{\ast }=100-40=60$.
   $p_2^{\ast }=50-0.5(30)=35$.

Rozwiązanie Część B (Jednolita cena):

1. Agregujemy funkcje popytu $Y(p)=D_1(p)+D_2(p)$:
   $Y=(100-p)+(100-2p)=200-3p$. Zauważ, że zachodzi to tylko dla $p\le 50$, w przeciwnym razie popyt rynku drugiego wyniósłby zero.
2. Odwracamy zagregowany popyt:
   $3p=200-Y\Rightarrow p(Y)=\frac{200}{3}-\frac{Y}{3}$.
3. Wyznaczamy dla agregatu utarg krańcowy:
   $MR(Y)=\frac{200}{3}-\frac{2Y}{3}$.
4. Przyrównujemy do stałego $MC=20$:
   $\frac{200}{3}-\frac{2Y}{3}=20\Rightarrow \frac{200}{3}-\frac{60}{3}=\frac{2Y}{3}\Rightarrow \frac{140}{3}=\frac{2Y}{3}\Rightarrow 2Y=140\Rightarrow Y^{\ast }=70$.
5. Obliczamy jednolitą cenę:
   $p^{\ast }=\frac{200}{3}-\frac{70}{3}=\frac{130}{3}=43\frac{1}{3}$.
6. Kontrola załamania popytu:
   Cena $43\frac{1}{3}$ jest niższa niż $50$, więc monopolista w istocie sprzedaje na oba rynki ($y_1=100-43.33=56.67$, $y_2=100-86.66=13.34$). Wynik jest matematycznie poprawny i opłacalny.

---

8: Rynek czynników produkcji

1. Fundament Matematyczny: Zysk i Koszty

Każda firma dąży do maksymalizacji zysku ($\Pi$). Zysk to po prostu to, co wpływa do kasy, minus to, co z niej wypływa.

• Przychód Całkowity (TR): Ile firma zarabia ze sprzedaży. To cena produktu pomnożona przez wyprodukowaną ilość, która zależy od kapitału ($K$) i pracy ($L$).

$$TR=P\cdot Q(K,L)$$

• Koszt Całkowity (TC): Ile firma płaci za czynniki produkcji. To koszt kapitału ($rK$) plus koszt pracy ($wL$).

$$TC=rK+wL$$

• Zysk:

$$\Pi (K,L)=TR(K,L)-TC(K,L)$$

---

2. Słowniczek: Co oznaczają te skróty w praktyce?

Zamiast uczyć się definicji na pamięć, pomyśl o zatrudnieniu jednego dodatkowego pracownika:

• $M{P}_L$ (Produkt Krańcowy): Ile fizycznych sztuk towaru wyprodukuje ten nowy pracownik?

$$M{P}_L=\frac{\partial Q}{\partial L}$$

• $MR{P}_L$ (Marginal Revenue of the Production - Przychód Krańcowy): Ile faktycznej gotówki firma zarobi dzięki temu pracownikowi. Jeśli firma jest monopolistą, wyprodukowanie więcej obniży cenę, więc $MR{P}_L$ jest ważniejsze niż $MV{P}_L$.

$$MR{P}_L=MR\cdot M{P}_L⟺\frac{\partial TR}{\partial L}=\frac{\partial TR}{\partial y(\text{produkcja})}\times \frac{\partial y(\text{produkcja})}{\partial L}$$

• $MV{P}_L$ (Marginal Value of the Production - Wartość Krańcowa): Ile te fizyczne sztuki są warte na rynku (po prostu cena sztuki $\times$ ilość sztuk). To jest specjalny przypadek $MR{P}_L$ dla konkurencji doskonałej, ponieważ w tej sytuacji $MR=P$

$$MV{P}_L=P\cdot M{P}_L$$

• $M{C}_L$ (Koszt Krańcowy): Ile firmę ostatecznie kosztuje zatrudnienie tego pracownika. Uwaga: to nie zawsze jest tylko jego pensja!

$$M{C}_L=\frac{\partial TC}{\partial L}$$

---

3. Złota Reguła Zatrudniania (Warunek FOC)

Firma rozwiązuje problem optymalizacyjny szukając punktu, w którym pochodna zysku wynosi zero. W praktyce oznacza to uniwersalną zasadę rynkową: zatrudniaj pracowników dopóki przychód, jaki generują, nie zrówna się z kosztem ich utrzymania.

$$MR{P}_L=M{C}_L$$

Rozwinięcie tego wzoru zależy od tego, kim jest firma na rynku:
Pamiętając, że $w$ ⇒ stawka pracownika albo kapitału!

Struktura Rynku	Rynek Dobra Finalnego	Rynek Pracy (Czynników)	Wzór Równowagi
Konkurencja Doskonała	Konkurencyjny (CENA STAŁA) ($P=MR$)	Konkurencyjny ($w=M{C}_L$)	$MV{P}_L=P\cdot M{P}_L=w$
Monopol (sprzedawca)	Monopol ($MR<P$)	Konkurencyjny ($w=M{C}_L$)	$MR{P}_L=MR\cdot M{P}_L=w$
Monopson (nabywca)	Konkurencyjny ($P=MR$)	Monopson ($M{C}_L>w$)	$P\cdot M{P}_L=w(L)+w^{\prime }(L)\cdot L$
Podwójny Monopol	Monopol ($MR<P$)	Monopson ($M{C}_L>w$)	$MR\cdot M{P}_L=w(L)+w^{\prime }(L)\cdot L$

Poniżej w postaci szachownicy

//////////////	//////////////////	///////////////
Rynek Produktu || Rynek Pracy ==	KONKURENCJA DOSKONAŁA (Cenobiorca: $M{C}_L=w$)	MONOPSON (Cenotwórca: $M{C}_L>w$)
KONKURENCJA DOSKONAŁA ($MR=P$)	Konkurencja obustronna $P\cdot M{P}_L=w$	Monopson czysty $P\cdot M{P}_L=w(L)+w^{\prime }(L)\cdot L$
MONOPOL ($MR<P$)	Monopol na rynku produktu $MR\cdot M{P}_L=w$	Monopol + Monopson $MR\cdot M{P}_L=w(L)+w^{\prime }(L)\cdot L$

W konkurencji doskonałej, $MR=P$ dlatego też zatrudniamy dodatkowego pracownika tylko wtedy jeśli jego stawka będzie równa ilość produktu który wygeneruje ⇒ $P\cdot M{P}_L=w$

Natomiast w Monopolu, aby sprzedać jedną dodatkową sztukę, przez to, że to my zaspokajamy cały popyt, musimy obniżyć cenę, dlatego też $MR<P$ więc zarobimy tylko jeśli stawka $w$ będzie odpowiadała przychodowi $MR$ z jednej dodatkowej sztuki dla tego pracownika $M{P}_L$

---

4. Algorytmy Rozwiązywania Zadań

Typ A: Idealny Rynek (Wszyscy są cenobiorcami)

Firma jest za mała, by dyktować ceny.

1. Oblicz $M{P}_L$ z funkcji produkcji $Q$.
2. Wyznacz $MR{P}_L$ mnożąc $M{P}_L$ przez rynkową cenę produktu ($P$).
3. Przyrównaj do stałej rynkowej stawki za pracę ($w$).
4. Rozwiąż równanie: $P\cdot M{P}_L=w$.

Typ B: Monopol na rynku dobra finalnego

Firma dyktuje ceny swoich produktów, ale pracowników zatrudnia na zwykłym rynku.

1. Wyznacz przychód całkowity: $TR(Q)=P(Q)\cdot Q$.
2. Policz pochodną, by uzyskać przychód krańcowy ($MR$).
3. Policz $M{P}_L$.
4. Wyznacz $MR{P}_L=MR\cdot M{P}_L$ i przyrównaj do stałej pensji ($w$).

Typ C: Monopson (Firma dyktuje pensje)

Firma jest jedynym pracodawcą w mieście (np. kopalnia). Jeśli chce zatrudnić więcej osób, musi podnieść pensję wszystkim, co drastycznie zwiększa koszty.

1. Zacznij od krzywej podaży pracy $w(L)$ (musi być w formacie $w=...$).
2. Kluczowy krok: Zapisz Koszt Całkowity Pracy: $T{C}_L=w(L)\cdot L$.
3. Policz $M{C}_L$ jako pochodną $T{C}_L$.
4. Zrównaj $MR{P}_L=M{C}_L$ i wylicz optymalne zatrudnienie ($L^{\ast }$).
5. Aby dowiedzieć się, ile firma zapłaci pracownikom, podstaw $L^{\ast }$ z powrotem do początkowej krzywej podaży $w(L)$.

---

5. Najczęstsze Pułapki

• Pułapka Pochodnej w Monopsonie: Najczęstszy błąd oblewania egzaminów. Koszt krańcowy pracy ($M{C}_L$) to NIE jest pochodna funkcji podaży $w^{\prime }(L)$. Musisz najpierw pomnożyć podaż przez $L$ (tworząc $T{C}_L$), a dopiero z tego policzyć pochodną.
• Złe ustalanie pensji: W monopsonie, po wyliczeniu liczby pracowników z równania $MR{P}_L=M{C}_L$, absolutnie nie odczytuj pensji z krzywej $M{C}_L$. Monopsonista płaci najmniej jak to możliwe, więc pensję odczytuje się zawsze z niżej położonej krzywej podaży $w(L)$.
• Nieodwrócone funkcje: Jeśli w zadaniu podaż to $L=20-5w$, nie możesz z tego od razu liczyć $TR$ ani $TC$. Najpierw przekształć to do postaci $w=...$ (tzw. odwrotna funkcja popytu/podaży).

---

6. Rozwiązanie Krok po Kroku (Problem Treningowy)

Zadanie: Monopsonista napotyka krzywą podaży kapitału: $w=5+\frac{K}{20}$. Wartość krańcowej produktywności kapitału jest dana zapisem: $p\cdot M{P}_K=100-\frac{K}{15}$. Ile jednostek kapitału zatrudni on w równowadze, wiedząc, że rynek dobra finalnego jest doskonale konkurencyjny?

Rozwiązanie Krok po Kroku:

1. Zdefiniuj strukturę rynku i FOC: Ponieważ firma jest monopsonistą na rynku kapitału, warunek maksymalizacji zysku wynosi: $MR{P}_K=M{C}_K$. Ponieważ rynek dobra finalnego jest konkurencyjny, $MR{P}_K=p\cdot M{P}_K$.

2. Wyznacz Krańcowy Koszt Kapitału ($M{C}_K$):

   • Wzór na stawkę za kapitał to rosnąca funkcja podaży: $w(K)=5+\frac{K}{20}$.
   • Całkowity koszt kapitału ($T{C}_K$) wynosi:
     $T{C}_K=w(K)\cdot K=\left(5+\frac{K}{20}\right)\cdot K=5K+\frac{K^2}{20}$
   • Oblicz pochodną całkowitego kosztu po $K$:
     $M{C}_K=\frac{dT{C}_K}{dK}=5+2\cdot \frac{K}{20}=5+\frac{K}{10}$

3. Wyznacz Krańcowy Przychód z Produktywności Kapitału ($MR{P}_K$):

   • Wartość z treści zadania podaje tę zmienną bezpośrednio w postaci zredukowanej:
     $MR{P}_K=100-\frac{K}{15}$.

4. Przyrównaj do siebie wartości ($MR{P}_K=M{C}_K$) i wyznacz $K^{\ast }$:

   • Równanie: $100-\frac{K}{15}=5+\frac{K}{10}$
   • Przenosimy wiadome na lewą, niewiadome na prawą:
     $100-5=\frac{K}{10}+\frac{K}{15}$
     $95=\frac{3K}{30}+\frac{2K}{30}$
     $95=\frac{5K}{30}$
     $95=\frac{K}{6}$
     $K=95\cdot 6$
     $K^{\ast }=570$

Wynik: Monopsonista zatrudni w równowadze 570 jednostek kapitału.

---

9. Teoria Gier

modelowanie strategicznego zachowania uczestników, których decyzje wzajemnie na siebie wpływają

Gra - sytuacja, w której gracze podejmują strategiczne decyzje uwzględniające reakcje pozostałych graczy;

Elementy gry:

• Zbiór graczy - uczestniczy
• Zbiór strategii - możliwe decyzje każdego gracza
• Wypłaty - możliwości, wyniki

W teorii gier gracz zawsze wybiera optymalną strategię; jest racjonalny → chce jak największą wypłatę

Rodzaje gier:

• 2 graczy albo N>2 graczy
• Jednoczesne, sekwencyjna
• Z doskonałą informacją

Za pomocą tabel (macierzy) można opisach przestrzeń strategii graczy

Tabela graczy A (poziomo) i B (pionowo)
Wypłata graczy $(x_A,x_B)$ =

	Billboardy	Radio	TV
Bilboardy	10,20	1,3	18,20
Ulotki	5,18	25,4	9,16

Jeśli wybieramy B wybiera Radio i a A wybiera ulotki to gracz A ma 25, a gracz B ma 4

Równowaga Nasha!

Profil strategi, w którym strategia każdego gracza jest najlepszą odpowiedzią na strategię pozostałych graczy

Różnica między strategią dominującą a równowagą Nasha:

• Strategia dominująca:
  Wybieram najlepszą strategię dla siebie niezależnie od tego, co zrobi przeciwnik. Przeciwnik wybiera najlepszą dla siebie strategię niezależnie od tego, co ja zrobię

• Równowaga Nasha:
  Wybieram najlepszą strategię dla siebie, biorąc pod uwagę, co może wybrać przeciwnik. Przeciwnik wybiera najlepszą strategię dla siebie, biorąc pod uwagę, co ja mogę zrobić.

Na naszym przykładzie,

1. Jeśli gracz 1 zagra Góra, to gracz 2 odpowie Lewo
2. Jeśli gracz 1 zagra Dół, to gracz 2 odpowie Prawo
3. Jeśli gracz 2 zagra Lewo to, gracz 1 zagra Góra
4. …
5. Jeśli gracz, 2 zagra Prawo, to gracz 1 zagra Dół

Z tego mamy dwie równowagi Nasha dla (1,1) oraz (2,3) ⇒

$$\text{NE (Nash Equilibrium)}=\{(G,L),(D,P)\}$$

Algorytm rozwiązywania:

1. Szukamy strategii dominującej i możemy skreślać
2. Szukamy na mniejszej macierzy równowagi Nasha

Strategie mieszane to “jakieś pierdolenie”, ale tak naprawdę do wybór opcji z określonym prawdopodobieństwem
Metoda obliczania:

1. Definiujemy prawdopodbieństwo, dla gracza A Góra → $(q)$, Dół → $(1-q)$ , dla gracza B Lewo → $(p)$, Prawo → $(1-p)$
2. Obliczamy oczekiwaną wypłatę wypłatę dla gracza A, jeśli wybierze Górę vs Dół ⇒ tworzy układ równań z prawdopodobieństwem wyboru przez gracza B, i zrównujemy ze sobą
   $E_x=a_{1,1}\cdot p+b_{1,1}\cdot (1-p)=a_{2,1}\cdot p+b_{2,1}\cdot (1-p)$
   gdzie: $a,b_{1,1}$ oznaczają wiersz i kolumnę, eg. $a_{2,1}$ → gracz A drugi wiersz pierwsza kolumna

10. Teoria gier, cz. 2

W tym temacie zostają wprowadzone pojęcia drzewka, czyli gier sekwencyjnych gdzie mam dwóch graczy i zależnie od decyzji jednego zależy drugi ⇒ inaczej gra ekstensywne to gra normalna (jak w temacie poprzednim), tylko zapisana za pomocą drzewa decyzyjnego

Wierzchołki to miejsca decyzji Gracza przy danym wierzchołku, ścieżki (strategie) to decyzje które może podjąć gracz, a na końcu są wypłaty

---

W tej teorii gier, wprowadzane są strategie, czyli można powiedzieć, proste instrukcje rozgrywania sekwencji, np. na powyższym schemacie $S_1=\{NA,NB,WA,WB\}$ oznaczają, że Gracz 1, ma do zagrania 4 różne możliwości, natomiast $S_2=\{N,W\}$, czyli Gracz 2, tylko dwie możliwość, razem jak zapiszemy to w formacie gry normalnej (tabelki), to mamy razem osiem możliwości, gdzie normalnie rozpatrujemy równowagę Nasha

Co ważne

W strategi gier, bierzemy pod uwagę również wszystkie ścieżki, które może podjąć gracz nawet w przypadku kiedy wcześniejsza decyzja zablokuję taką możliwość w przyszłości!

---

Podgra to część pewnej gry, która:

1. Zawsze musi zaczynać się od jednego wierzchołka
2. Nie może przecinać niepełnych zbiorów informacji - linii przerywanej

---

Równowaga Nasha doskonała względem podgier (Subgame Perfect Nash Equilibrium, $SPNE$) → to spodziewane rozwiązanie gry, jeśli spełniona jest sekwencyjna racjonalność, czyli wybieramy najlepsze dla nas wypłaty.

graph TD
     Lewa gałąź - decyzja Gracza 2
    P2_1 -- C --> L1["(1; 4)"]
    P2_1 -- D --> L2["(5; 2)"]

     Zbiór informacyjny Gracza 2 (linia przerywana)
    P2_2 -.- P2_3

     Stylizacja dla czytelności
    style P1_1 fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style P1_2 fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style P2_1 fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style P2_2 fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style P2_3 fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px

Zadanie w formie powyższego schematu i rozwiązania

---

a. Wszystkie możliwe strategie poszczególnych graczy

Strategia to kompletny plan działania, który określa ruch gracza w każdym jego zbiorze informacyjnym.

• Gracz 1 (G1): Posiada dwa węzły decyzyjne. Pierwszy to korzeń drzewa (wybór $A$ lub $B$), drugi następuje po wybraniu akcji $B$ (wybór $E$ lub $F$).

$$\text{Zbioˊr strategii }{S}_1=\{(A,E),(A,F),(B,E),(B,F)\}$$

*(W skrócie: $AE, AF, BE, BF$)*

• Gracz 2 (G2): Posiada dwa zbiory informacyjne. Pierwszy następuje po ruchu $A$ (wybór $C$ lub $D$), drugi to zbiór niepewności po ruchach $E$ lub $F$ (wybór $X$ lub $Y$).

$$\text{Zbioˊr strategii }{S}_2=\{(C,X),(C,Y),(D,X),(D,Y)\}$$

*(W skrócie: $CX, CY, DX, DY$)*

---

b. Przedstawienie gry w postaci normalnej (macierzowej)

Macierz zawiera wypłaty $(u_1,u_2)$ dla wszystkich kombinacji strategii.

$G1\setminus G2$	$CX$	$CY$	$DX$	$DY$
$AE$	$(1,4)$	$(1,4)$	$(5,2)$	$(5,2)$
$AF$	$(1,4)$	$(1,4)$	$(5,2)$	$(5,2)$
$BE$	$(3,4)$	$(1,4)$	$(3,4)$	$(1,4)$
$BF$	$(2,1)$	$(2,0)$	$(2,1)$	$(2,0)$

---

c. Równowagi Nasha (NE) w strategiach czystych

Równowaga Nasha występuje w punkcie, gdzie żaden z graczy nie chce jednostronnie zmienić swojej strategii. Wyznaczamy najlepsze odpowiedzi (Best Responses):

1. Jeśli $G2$ gra $CX$, najlepszą odpowiedzią $G1$ jest $BE$ ($3>2,1,1$).
2. Jeśli $G1$ gra $BE$, najlepszymi odpowiedziami $G2$ są $CX$ oraz $DX$ ($4=4$).
   • Wspólny punkt: $(BE,CX)$.
3. Jeśli $G2$ gra $DX$, najlepszą odpowiedzią $G1$ jest $AE$ lub $AF$ ($5>3,2$).
4. Jeśli $G1$ gra $AE$ (lub $AF$), najlepszą odpowiedzią $G2$ jest $CX$ lub $CY$ ($4>2$).
   • Brak przecięcia w tym punkcie.

Czysta Równowaga Nasha:

$$NE=\{(BE,CX)\}$$

---

d. Doskonałe równowagi Nasha (SPNE) w strategiach czystych

Stosujemy metodę indukcji wstecznej (Backward Induction), analizując podgry:

1. Podgra po ruchu $B$: Jest to gra o niepełnej informacji (zbiór przerywany). Gracze de facto podejmują tu decyzję jednocześnie.
   • Wypłaty w tej podgrze: $E,X\to (3,4)$; $E,Y\to (1,4)$; $F,X\to (2,1)$; $F,Y\to (2,0)$.
   • Jedyną równowagą Nasha tej podgry jest para akcji $(E,X)$ dająca wypłatę $(3,4)$, ponieważ:
     • Dla G1: $E$ jest lepsze od $F$ przy wyborze $X$ przez G2 ($3>2$).
     • Dla G2: $X$ i $Y$ dają to samo przy wyborze $E$ przez G1 ($4=4$), ale $X$ jest dominujące.
2. Podgra po ruchu $A$: Gracz 2 wybiera między $C$ (wypłata 4) a $D$ (wypłata 2).
   • Gracz 2 wybierze $C$.
3. Węzeł początkowy (G1): Gracz 1 przewiduje wyniki w podgrach:
   • Ruch $A$ prowadzi do wypłaty $1$ (bo G2 wybierze $C$).
   • Ruch $B$ prowadzi do wypłaty $3$ (wynik równowagi podgry).
   • Gracz 1 wybiera $B$.

Doskonała Równowaga Nasha (SPNE):

$$SPNE=\{(BE,CX)\}$$